बिंदु $A(1, 0, 3)$ से बिंदुओं $B(4, 7, 1)$ और $C(3, 5, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा पर डाले गए लंब के पाद (foot of perpendicular) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $P(1, 2, a)$ का रेखा $\frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{2}=\frac{7-z}{2}$ में प्रतिबिंब $Q(5, b, c)$ है, तो $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $Q$ वह घन है जिसके शीर्षों का समुच्चय $\{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3: x_1, x_2, x_3 \in \{0,1\}\}$ है। मान लीजिए $F$ घन $Q$ के छह फलकों के विकर्णों को समाहित करने वाली सभी बारह रेखाओं का समुच्चय है। मान लीजिए $S$ घन $Q$ के मुख्य विकर्णों को समाहित करने वाली सभी चार रेखाओं का समुच्चय है; उदाहरण के लिए,शीर्ष $(0,0,0)$ और $(1,1,1)$ से गुजरने वाली रेखा $S$ में है। रेखाओं $\ell_1$ और $\ell_2$ के लिए,मान लीजिए $d(\ell_1, \ell_2)$ उनके बीच की न्यूनतम दूरी को दर्शाता है। तब $d(\ell_1, \ell_2)$ का अधिकतम मान,जैसे-जैसे $\ell_1$ समुच्चय $F$ पर और $\ell_2$ समुच्चय $S$ पर परिवर्तित होता है,क्या होगा?

यदि $(2,3,-1)$ और $(3,5,-3)$ को मिलाने वाली रेखा,$A(1,2,3)$ और $B(\alpha, \beta, \gamma)$ को मिलाने वाली रेखा पर लंब है,तो $B$ के लिए एक संभावित बिंदु है

बिंदु $P(7, 10, 11)$ की रेखा $\frac{x-4}{1} = \frac{y-4}{0} = \frac{z-2}{3}$ से रेखा $\frac{x-9}{2} = \frac{y-13}{3} = \frac{z-17}{6}$ की दिशा में दूरी ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि रेखाओं $x+2=y-1=z$,$\frac{x-3}{5}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}$ और $\frac{x}{-3}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-2}{1}$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $A$ है। तो $A^2$ का मान . . . . . . है।