फलन f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b,[1, 3] अंतराल | vedclass

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Question

(A) $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय के लिए,फलन को $f(1) = f(3)$ को संतुष्ट करना चाहिए।$f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + a(1) + b = 1 - 6 + a + b = a + b - 5$.$f(3) =

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$11, -6$

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(A) $[1, 3]$ पर रोले के प्रमेय के लिए,फलन को $f(1) = f(3)$ को संतुष्ट करना चाहिए।$f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + a(1) + b = 1 - 6 + a + b = a + b - 5$.$f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + a(3) + b = 27 - 54 + 3a + b = 3a + b - 27$.$f(1) = f(3)$ को बराबर करने पर:$a + b - 5 = 3a + b - 27$$2a = 22 \implies a = 11$.साथ ही,रोले के प्रमेय के अनुसार $(1, 3)$ में किसी $c$ के लिए $f'(c) = 0$ होना चाहिए।$f'(x) = 3x^2 - 12x + a = 3x^2 - 12x + 11$.$f'(c) = 0$ रखने पर:$3c^2 - 12c + 11 = 0$.इसके मूल $c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ हैं।चूंकि $2 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.423$ जो $(1, 3)$ के भीतर है,इसलिए $a = 11$ के लिए शर्त पूरी होती है। विकल्पों को देखते हुए,$a=11$ वाला विकल्प $A$ सही है।

फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$,$[1, 3]$ अंतराल में रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है। तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या होंगे?

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