फलन F(x) = int_0^x log left( frac{1 - t}{1 + | vedclass

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Question

(A) माना $f(t) = \log \left( \frac{1 - t}{1 + t} \right)$.सबसे पहले,हम $f(-t)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि क्या $f(t)$ एक विषम फलन है:$f(-t) = \lo

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एक सम फलन

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(A) माना $f(t) = \log \left( \frac{1 - t}{1 + t} \right)$.सबसे पहले,हम $f(-t)$ का मान ज्ञात करके जाँचते हैं कि क्या $f(t)$ एक विषम फलन है:$f(-t) = \log \left( \frac{1 - (-t)}{1 + (-t)} \right) = \log \left( \frac{1 + t}{1 - t} \right) = \log \left( \left( \frac{1 - t}{1 + t} \right)^{-1} \right) = -\log \left( \frac{1 - t}{1 + t} \right) = -f(t)$.चूँकि $f(-t) = -f(t)$,इसलिए $f(t)$ एक विषम फलन है।हम जानते हैं कि यदि $f(t)$ एक विषम फलन है,तो इसका समाकलन $F(x) = \int_0^x f(t) \,dt$ एक सम फलन होता है।सत्यापन के लिए,$F(-x) = \int_0^{-x} f(t) \,dt$. माना $t = -u$,तो $dt = -du$. जब $t=0, u=0$; जब $t=-x, u=x$.$F(-x) = \int_0^x f(-u) (-du) = \int_0^x (-f(u)) (-du) = \int_0^x f(u) \,du = F(x)$.चूँकि $F(-x) = F(x)$,इसलिए $F(x)$ एक सम फलन है।

फलन $F(x) = \int_0^x \log \left( \frac{1 - t}{1 + t} \right) \,dt$ है

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