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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dy}{dx} + by^2 = a \cos x$. माना $y^2 = z$. तब, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$, जि

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$(4b^2 + 1) y^2 = 2a(\sin x + 2b \cos x) + c e^{-2bx}$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $y \frac{dy}{dx} + by^2 = a \cos x$. माना $y^2 = z$. तब, $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$, जिसका अर्थ है $y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{dz}{dx}$. इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} \frac{dz}{dx} + bz = a \cos x$. $2$ से गुणा करने पर: $\frac{dz}{dx} + 2bz = 2a \cos x$. यह $\frac{dz}{dx} + Pz = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = 2b$ और $Q = 2a \cos x$. समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int 2b \, dx} = e^{2bx}$ है। हल $z \cdot IF = \int Q \cdot IF \, dx + c$ द्वारा दिया जाता है। $z e^{2bx} = \int 2a \cos x \cdot e^{2bx} \, dx + c$. मानक समाकलन $\int e^{ax} \cos bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos bx + b \sin bx)$ का उपयोग करते हुए: $z e^{2bx} = 2a \left[ \frac{e^{2bx}}{(2b)^2 + 1^2} (2b \cos x + \sin x) \right] + c$. $y^2 e^{2bx} = \frac{2a}{4b^2 + 1} e^{2bx} (2b \cos x + \sin x) + c$. $e^{-2bx}$ से गुणा करने पर: $y^2 = \frac{2a}{4b^2 + 1} (2b \cos x + \sin x) + c e^{-2bx}$. अतः, $(4b^2 + 1) y^2 = 2a(\sin x + 2b \cos x) + c e^{-2bx}$ प्राप्त होता है।

$0 \leq x < 1$ के लिए $y \frac{dy}{dx} + by^2 = a \cos x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है):

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