अवकल समीकरण $(2x - 10y^3) dy + y dx = 0, y \neq 0$ का व्यापक हल है

मान लीजिए $f :(0, \infty) \rightarrow R$ एक फलन है जो अपने प्रांत के सभी बिंदुओं पर अवकलनीय है और शर्त $x^2 f^{\prime}(x)=2 x f(x)+3$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(1)=4$ है। तो $2 f(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

अवकल समीकरण $(1 + t^2) + (x - e^{\tan^{-1} t}) \frac{dt}{dx} = 0$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ का हल है और $y(\frac{\pi}{3}) = 0$ है,तो $\mathbb{R}$ पर फलन $y(x)$ का अधिकतम मान क्या होगा?

सभी $x > 0$ के लिए,मान लीजिए $y_1(x), y_2(x)$,और $y_3(x)$ ऐसे फलन हैं जो $\frac{dy_1}{dx} - (\sin x)^2 y_1 = 0, y_1(1) = 5$; $\frac{dy_2}{dx} - (\cos x)^2 y_2 = 0, y_2(1) = \frac{1}{3}$; और $\frac{dy_3}{dx} - \left(\frac{2-x^3}{x^3}\right) y_3 = 0, y_3(1) = \frac{3}{5e}$ को संतुष्ट करते हैं। तो $\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{y_1(x) y_2(x) y_3(x) + 2x}{e^{3x} \sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sin x$ रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है,तो $P$ है