अवकल समीकरण cos(x+y) dy = dx का व्यापक हल ज्ञ | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos(x+y) dy = dx$। माना $v = x+y$। अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\fr

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$y = 	an \left(\frac{x+y}{2}ight) + c$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $\cos(x+y) dy = dx$। माना $v = x+y$। अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$। समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos(x+y)} = \sec(x+y)$। $v$ और $\frac{dy}{dx}$ का मान रखने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \sec(v)$। $\frac{dv}{dx} = 1 + \sec(v) = 1 + \frac{1}{\cos(v)} = \frac{\cos(v)+1}{\cos(v)}$। चरों को पृथक करने पर: $\frac{\cos(v)}{\cos(v)+1} dv = dx$। सर्वसमिका $\cos(v) = 2\cos^2(v/2) - 1$ का उपयोग करने पर: $\frac{2\cos^2(v/2)-1}{2\cos^2(v/2)} dv = dx$। $(1 - \frac{1}{2}\sec^2(v/2)) dv = dx$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (1 - \frac{1}{2}\sec^2(v/2)) dv = \int dx$। $v - 	an(v/2) = x + c$। $v = x+y$ रखने पर: $(x+y) - 	an(\frac{x+y}{2}) = x + c$। $y - 	an(\frac{x+y}{2}) = c$,अर्थात $y = 	an(\frac{x+y}{2}) + c$।

अवकल समीकरण $\cos(x+y) dy = dx$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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