વિકલ સમીકરણ (x-y-1) dy = (x+y+1) dx નો વ્યાપક | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x-y-1}$.ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$.આ કિંમતો મૂકતા,$\frac

Vedclass · Accepted Answer

$	an^{-1}\left(\frac{y+1}{x}ight) - \frac{1}{2} \log(x^2+y^2+2y+1) = c$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x-y-1}$.ધારો કે $x = X+h$ અને $y = Y+k$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$.આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y+h+k+1}{X-Y+h-k-1}$ મળે.સમીકરણને સમપરિમાણીય બનાવવા માટે,$h+k+1 = 0$ અને $h-k-1 = 0$ લો.આ સમીકરણો ઉકેલતા,$h = 0$ અને $k = -1$ મળે છે.આમ,સમીકરણ $\frac{dY}{dX} = \frac{X+Y}{X-Y}$ બને છે.ગોઠવતા,$(X-Y) dY = (X+Y) dX$,જેનો અર્થ છે કે $X dY - Y dX = X dX + Y dY$.$X^2+Y^2$ વડે ભાગતા,$\frac{X dY - Y dX}{X^2+Y^2} = \frac{X dX + Y dY}{X^2+Y^2}$ મળે.બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int d\left(	an^{-1}\left(\frac{Y}{X}ight)ight) = \frac{1}{2} \int d(\log(X^2+Y^2))$.આથી $	an^{-1}\left(\frac{Y}{X}ight) = \frac{1}{2} \log(X^2+Y^2) + C$ મળે.$X = x$ અને $Y = y+1$ મૂકતા,$	an^{-1}\left(\frac{y+1}{x}ight) = \frac{1}{2} \log(x^2+(y+1)^2) + C$ મળે.તેથી,$	an^{-1}\left(\frac{y+1}{x}ight) - \frac{1}{2} \log(x^2+y^2+2y+1) = C$.

વિકલ સમીકરણ $(x-y-1) dy = (x+y+1) dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

દર્શાવો કે વિકલ સમીકરણ $y^{\prime} = \frac{x+y}{x}$ એ સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

નીચેનામાંથી કયા વિધેયો સમપરિમાણીય (homogeneous) છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module