अवकल समीकरण $x \sin x \frac{dy}{dx} + (x \cos x + \sin x)y = \sin x$ का व्यापक हल है

यदि $\log y$,$\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है,तो $P(y) =$

मान लीजिए $Y=Y(X)$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक वक्र है,इस प्रकार कि स्पर्श रेखा $Y-y=Y^{\prime}(x)(X-x)$ और निर्देशांक अक्षों द्वारा घिरा क्षेत्रफल,जहाँ $(x, y)$ वक्र पर कोई बिंदु है,हमेशा $\frac{-y^2}{2 Y^{\prime}(x)}+1$ है,जहाँ $Y^{\prime}(x) \neq 0$ है। यदि $Y(1)=1$ है,तो $12 Y(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

$x \in R$ के लिए,मान लीजिए $y(x)$ अवकल समीकरण $(x^2-5) \frac{dy}{dx} - 2xy = -2x(x^2-5)^2$ का एक हल है,जहाँ $y(2)=7$ है। $y(x)$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $y=f(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}+\frac{xy}{x^2-1}=\frac{x^6+4x}{\sqrt{1-x^2}}$ का हल है,जहाँ $-1 < x < 1$ और $f(0)=0$ है। यदि $6 \int_{-1/2}^{1/2} f(x) dx = 2\pi - \alpha$ है,तो $\alpha^2$ का मान . . . . . . है।