क्षैतिज बल और ऊर्ध्वाधर के साथ $60^\circ$ के कोण पर झुका हुआ बल,जिनका परिणामी बल $P \ kg$ के परिमाण के साथ ऊर्ध्वाधर दिशा में है,वे हैं:

मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है और $PQR$ एक स्वेच्छ त्रिभुज है। यदि एक बिंदु $S$ शर्त $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OS}$ को संतुष्ट करता है,तो बिंदु $S$ है:

यदि $\theta$ सदिशों $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण है,जहाँ $|\bar{a}|=4, |\bar{b}|=3$ और $\theta \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)$,तो $|(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}+\bar{b})|^2+4(\bar{a} \cdot \bar{b})^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ इकाई सदिश हैं जो $|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2=9$ को संतुष्ट करते हैं,तो $|2 \vec{a}+5 \vec{b}+5 \vec{c}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

सदिश $2i + j - k$,$i - 4j + \lambda k$ के लंबवत है,यदि $\lambda = $

मान लीजिए कि $\bar{a} = \bar{i} + 2\bar{j} + 2\bar{k}$ और $\bar{b} = 2\bar{i} - \bar{j} + p\bar{k}$ दो सदिश हैं। यदि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है, तो $p =$