સંકલન $\int_{-1}^{3} \left( \tan^{-1} \frac{x}{x^2+1} + \tan^{-1} \frac{x^2+1}{x} \right) dx = $

જો $h(a) = h(b)$ હોય,તો સંકલન $\int_a^b {[f(g(h(x)))]^{-1} f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \, dx} = $ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{4\pi}{9}} \frac{2\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx = . . . . . .$

$\int_{0}^{1} x(1-x)^{5} dx =$

નીચેના ગાણિતિક વિધાનોને ધ્યાનપૂર્વક વાંચો:
$I.$ $x = c$ પર મહત્તમ મૂલ્ય ધરાવતું વિકલનીય વિધેય $f$ $\implies f''(c) < 0$.
$II.$ આવર્તી વિધેયનું પ્રતિવિકલિત પણ આવર્તી વિધેય હોય છે.
$III.$ જો $f$ નો આવર્તમાન $T$ હોય,તો કોઈપણ $a \in R$ માટે,$\int\limits_0^T {f(x)\,dx} = \int\limits_0^T {f(x + a)\,dx}$.
$IV.$ જો $f(x)$ ને $x = c$ પર મહત્તમ મૂલ્ય હોય,તો $h \to 0$ $(h > 0)$ માટે $f$ એ $(c - h, c)$ માં વધતું અને $(c, c + h)$ માં ઘટતું વિધેય છે. હવે સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો.

$\int_{-1}^1 \left(\sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}\right) dx$ નું મૂલ્ય શોધો.