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Question

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $(x - a)(x - 10) + 1 = 0$ है।इसका विस्तार करने पर,हमें $x^{2} - (10 + a)x + 10a + 1 = 0$ प्राप्त होता है।मूलों के पूर्णांक

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$8, 12$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $(x - a)(x - 10) + 1 = 0$ है।इसका विस्तार करने पर,हमें $x^{2} - (10 + a)x + 10a + 1 = 0$ प्राप्त होता है।मूलों के पूर्णांक होने के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।$D = b^{2} - 4ac = (10 + a)^{2} - 4(10a + 1)$.$D = 100 + 20a + a^{2} - 40a - 4$.$D = a^{2} - 20a + 96$.पूर्ण वर्ग बनाने पर,$D = (a - 10)^{2} - 4$.मान लीजिए $D = k^{2}$ जहाँ $k \ge 0$ एक पूर्णांक है।तब $k^{2} = (a - 10)^{2} - 4$,जिसका अर्थ है $(a - 10)^{2} - k^{2} = 4$.$(a - 10 - k)(a - 10 + k) = 4$.चूँकि इन दो गुणनखंडों के बीच का अंतर $2k$ (एक सम संख्या) है,इसलिए दोनों गुणनखंड सम होने चाहिए।$4$ के संभावित गुणनखंड जोड़े $(2, 2)$ या $(-2, -2)$ हैं।स्थिति $1$: $a - 10 - k = 2$ और $a - 10 + k = 2$.जोड़ने पर,$2(a - 10) = 4 \Rightarrow a - 10 = 2 \Rightarrow a = 12$.स्थिति $2$: $a - 10 - k = -2$ और $a - 10 + k = -2$.जोड़ने पर,$2(a - 10) = -4 \Rightarrow a - 10 = -2 \Rightarrow a = 8$.अतः,$a$ के पूर्णांक मान $8$ और $12$ हैं।

$a$ के वे पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए जिनके लिए द्विघात समीकरण $(x - a)(x - 10) + 1 = 0$ के मूल पूर्णांक हैं।

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