वे मान a और b जिनके लिए समीकरण x^4 - 4x^3 + a | vedclass

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Question

(D) माना कि चार वास्तविक मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं। समीकरण $(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)(x - \delta) = 0$ है।इसे $x^4 - 4x^3 + ax

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$a = 6, b = -4$

Vedclass · Answer

(D) माना कि चार वास्तविक मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ हैं। समीकरण $(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)(x - \delta) = 0$ है।इसे $x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\sum \alpha = 4$,$\sum \alpha\beta = a$,$\sum \alpha\beta\gamma = -b$,और $\alpha\beta\gamma\delta = 1$.वास्तविक धनात्मक मूलों के लिए,समांतर माध्य $(AM)$ $\ge$ गुणोत्तर माध्य $(GM)$.$AM = \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{4} = \frac{4}{4} = 1$.$GM = (\alpha\beta\gamma\delta)^{1/4} = (1)^{1/4} = 1$.चूंकि $AM = GM = 1$,इसलिए सभी मूल समान होने चाहिए,अर्थात $\alpha = \beta = \gamma = \delta = 1$.अब,$a = \sum \alpha\beta = \binom{4}{2} 	imes (1 	imes 1) = 6 	imes 1 = 6$.$-b = \sum \alpha\beta\gamma = \binom{4}{3} 	imes (1 	imes 1 	imes 1) = 4 	imes 1 = 4$,इसलिए $b = -4$.अतः,$a = 6$ और $b = -4$.

वे मान $a$ और $b$ जिनके लिए समीकरण $x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ के चार वास्तविक मूल हैं,हैं:

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