n भुजाओं वाले उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोण G.P. | vedclass

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Question

(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग $(n-2) 	imes 180^\circ$ द्वारा दिया जाता है।चूंकि कोण $G.P.$ में हैं,जहाँ प्रथम पद $a = 120^\circ$

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(A) $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग $(n-2) 	imes 180^\circ$ द्वारा दिया जाता है।चूंकि कोण $G.P.$ में हैं,जहाँ प्रथम पद $a = 120^\circ$ और सार्व अनुपात $r = 2$ है,इसलिए $n$ पदों का योग $S_n = a(r^n - 1) / (r - 1)$ होगा।मान रखने पर: $S_n = 120(2^n - 1) / (2 - 1) = 120(2^n - 1)$.दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $120(2^n - 1) = (n - 2) 	imes 180$.दोनों पक्षों को $60$ से विभाजित करने पर: $2(2^n - 1) = 3(n - 2)$.$2^{n+1} - 2 = 3n - 6$,जिसे सरल करने पर $2^{n+1} + 4 = 3n$ प्राप्त होता है।$n=3$ के लिए,$2^4 + 4 = 20$ और $3(3) = 9$ $(20 
eq 9)$.$n=4$ के लिए,$2^5 + 4 = 36$ और $3(4) = 12$ $(36 
eq 12)$.जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,$2^{n+1}$,$3n$ की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है। अतः,$n \ge 3$ के लिए कोई पूर्णांक हल संभव नहीं है।

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श्रेणी का $n^{th}$ पद ज्ञात कीजिए:
$\frac{1}{n} + \frac{n+1}{n} + \frac{2n+1}{n} + \ldots$

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