वह अंतराल जिसमें फलन f(x) = x^x, x 0,निरंतर | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^x$ है,जहाँ $x > 0$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = x \ln(x)$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन

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$\left[\frac{1}{e}, \infty\right)$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^x$ है,जहाँ $x > 0$ है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(f(x)) = x \ln(x)$ प्राप्त होता है।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{1}{f(x)} f'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$ प्राप्त होता है।अतः,$f'(x) = x^x(1 + \ln(x))$ है।फलन के निरंतर वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए।चूँकि $x > 0$ के लिए $x^x > 0$ होता है,इसलिए $f'(x) > 0$ का अर्थ है कि $1 + \ln(x) > 0$ होना चाहिए।$\ln(x) > -1$।$x > e^{-1}$,जिसका अर्थ है $x > \frac{1}{e}$।अतः,वह अंतराल जिसमें फलन निरंतर वर्धमान है,$\left(\frac{1}{e}, \infty\right)$ है।नोट: विकल्प $\left[\frac{1}{e}, \infty\right)$ उस अंतराल का मानक निरूपण है जहाँ फलन वर्धमान है।

वह अंतराल जिसमें फलन $f(x) = x^x, x > 0$,निरंतर वर्धमान है,वह है

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