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Question

(A) दी गई असमिका: $5^{\frac{1}{4}(\log_5 x)^2} \geq 5 \cdot x^{\frac{1}{5}(\log_5 x)}$दोनों पक्षों में $\log_5$ लेने पर:$\frac{1}{4}(\log_5 x)^2 \geq

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$(0, 5^{-2\sqrt{5}}] \cup [5^{2\sqrt{5}}, \infty)$

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(A) दी गई असमिका: $5^{\frac{1}{4}(\log_5 x)^2} \geq 5 \cdot x^{\frac{1}{5}(\log_5 x)}$दोनों पक्षों में $\log_5$ लेने पर:$\frac{1}{4}(\log_5 x)^2 \geq \log_5(5 \cdot x^{\frac{1}{5}\log_5 x})$$\frac{1}{4}(\log_5 x)^2 \geq 1 + \frac{1}{5}(\log_5 x)^2$माना $u = \log_5 x$. तब $\frac{1}{4}u^2 \geq 1 + \frac{1}{5}u^2$$(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})u^2 \geq 1$$\frac{1}{20}u^2 \geq 1 \implies u^2 \geq 20$$u \geq 2\sqrt{5}$ या $u \leq -2\sqrt{5}$$\log_5 x \geq 2\sqrt{5} \implies x \geq 5^{2\sqrt{5}}$$\log_5 x \leq -2\sqrt{5} \implies x \leq 5^{-2\sqrt{5}}$चूँकि $x > 0$,अतः हल $x \in (0, 5^{-2\sqrt{5}}] \cup [5^{2\sqrt{5}}, \infty)$ है।

$x$ का वह अंतराल ज्ञात कीजिए जिसमें असमिका $5^{\frac{1}{4}(\log_5 x)^2} \geq 5x^{\frac{1}{5}(\log_5 x)}$ सत्य है:

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दिया गया है कि $a, b \in \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$ जहाँ $a+b \neq 0$ और $\left(a+\frac{b}{10}\right)^x = \left(\frac{a}{10}+\frac{b}{100}\right)^y = 1000$ है। तो, $\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\log_{a}b + \log_{b}c + \log_{c}a = 0$ है,जहाँ $a, b,$ और $c$ $1$ से भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,तो $(\log_{a}b)^3 + (\log_{b}c)^3 + (\log_{c}a)^3$ का मान क्या है?

$x$ का मान ज्ञात कीजिए जो $\log _a x + \log _{\sqrt{a}} x + \log _{\sqrt[3]{a}} x + \dots + \log _{\sqrt[n]{a}} x = \frac{n(n+1)}{2}$ को संतुष्ट करता है।

$x$ के किन मानों के लिए निम्नलिखित सर्वसमिका मान्य है और सत्य है? $\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2} \log_e \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$.

$\log (\cosh 3 + \sinh 3) + \log (\cosh 3 - \sinh 3) = $

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