मूल बिंदु से गुजरने वाले और यह गुण रखने वाले | vedclass

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Question

(B) किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है।बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{dx}{dy}$ है।बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब का सम

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(B) किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx}$ है।बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब की ढाल $-\frac{dx}{dy}$ है।बिंदु $(x, y)$ पर अभिलंब का समीकरण है:$Y - y = -\frac{dx}{dy}(X - x)$चूंकि अभिलंब $x$-अक्ष को $(x + 1, 0)$ पर प्रतिच्छेद करता है,हम $X = x + 1$ और $Y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:$0 - y = -\frac{dx}{dy}(x + 1 - x)$$-y = -\frac{dx}{dy}(1)$$y = \frac{dx}{dy}$$y \, dy = dx$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:$\int y \, dy = \int dx$$\frac{y^2}{2} = x + C$चूंकि शांकव मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,हमारे पास $0 = 0 + C$ है,इसलिए $C = 0$ है।अतः,शांकव का समीकरण $y^2 = 2x$ है।इसे मानक रूप $y^2 = 4ax$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4a = 2$ प्राप्त होता है,जो नाभिलंब की लंबाई है।इसलिए,नाभिलंब की लंबाई $2$ है।

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बिंदु $(3,4)$ एक परवलय की नाभि है और $2x - 3y + 5 = 0$ उसकी नियता (directrix) है। इसका नाभिलंब (latus rectum) है:

परवलय $x^2 - 8y - x + 19 = 0$ का शीर्ष (vertex) क्या है?

परवलय $y^2 = 8x$ की एक स्पर्श रेखा,रेखा $y = 3x + 5$ के साथ $45^\circ$ का कोण बनाती है,तो स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि $5x - 2y + k = 0$ परवलय $y^2 = 6x$ की एक स्पर्श रेखा है,तो उनका स्पर्श बिंदु ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $x + y - 1 = 0$ परवलय $y^2 = kx$ की स्पर्श रेखा है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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