$C(n, 5) + C(n, 6) > C(n+1, 5)$ को संतुष्ट करने वाली प्राकृतिक संख्या $n$ का न्यूनतम मान क्या है?

निम्नलिखित कथनों का अवलोकन करें:
$I$. यदि $dy + 2xy dx = 2e^{-x^2} dx$ है, तो $ye^{x^2} = 2x + c$ है।
$II$. यदि $ye^{-x^2} - 2x = c$ है, तो $dx = (2e^{-x^2} - 2xy) dy$ है।
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?

एक कण पर $\overrightarrow F = 6\hat i + 2\hat j - 3\hat k$ बल कार्य करता है,जिससे $\overrightarrow s = 2\hat i - 3\hat j + x\hat k$ का विस्थापन होता है। यदि किया गया कार्य शून्य है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक गुणोत्तर श्रेणी के $p$-वें,$q$-वें और $r$-वें पद क्रमशः धनात्मक संख्याएँ $a, b$ और $c$ हैं,तो सदिशों $(\log a^2) i + (\log b^2) j + (\log c^2) k$ और $(q-r) i + (r-p) j + (p-q) k$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

एक अणु $M$ दिए गए विलायक में समीकरण $nM \rightleftharpoons (M)_n$ के अनुसार संयोजित (associate) होता है। $M$ की एक निश्चित सांद्रता के लिए,वांट हॉफ कारक $0.9$ पाया गया और संयोजित अणुओं का अंश $0.2$ था। $n$ का मान है:

निम्नलिखित में से किसका गलनांक सबसे कम है?