વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=16$ પરના બિંદુઓ $(4 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ અને $(4 \cos (\theta+60^{\circ}), 4 \sin (\theta+60^{\circ}))$ ને જોડતી જીવાની લંબાઈ કેટલી થાય?

પ્રથમ ચરણમાં બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થતું એક વર્તુળ બે યામ અક્ષોને બિંદુઓ $A$ અને $B$ પર સ્પર્શે છે. બિંદુ $P$ એ રેખા $AB$ ની ઉપર છે. રેખાખંડ $AB$ પરનું બિંદુ $Q$ એ $P$ માંથી $AB$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. જો $PQ$ નું માપ $11$ એકમ હોય,તો $\alpha \beta$ નું મૂલ્ય $.............$ છે.

$(1, 0)$ અને $(0, 1)$ માંથી પસાર થતા અને શક્ય હોય તેટલી નાની ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ,જે $x$-અક્ષને $(a, 0), a > 0$ બિંદુએ સ્પર્શે છે અને $y$-અક્ષ પર $b$ લંબાઈનો અંતઃખંડ કાપે છે,તે $x^2 + y^2 - \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ છે. જો વર્તુળ $x$-અક્ષની નીચે આવેલું હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(2a, b^2)$ કોના બરાબર થાય?

ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર પ્રથમ ચરણમાં છે અને $2x - y = 4$ રેખા પર આવેલું છે. ધારો કે વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $27\sqrt{3}$ છે. તો $x = 1$ રેખા પરના વર્તુળની જીવાની લંબાઈનો વર્ગ . . . . . . છે.

ધારો કે $O$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ નું કેન્દ્ર છે,જ્યાં $r > \frac{\sqrt{5}}{2}$. ધારો કે $PQ$ એ આ વર્તુળની જીવા છે અને $P$ અને $Q$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $2x + 4y = 5$ છે. જો ત્રિકોણ $OPQ$ ના પરિવર્તુળનું કેન્દ્ર રેખા $x + 2y = 4$ પર આવેલું હોય,તો $r$ નું મૂલ્ય શોધો.