बिंदु $(1, -2, 5)$ से $(1, 2, 4)$ से गुजरने वाली और रेखा $x + y - z = 0 = x - 2y + 3z - 5$ के समानांतर रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।

बिंदुओं $(3, 4, 1)$ और $(5, 1, 6)$ को मिलाने वाली रेखा और $xy$-समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु है

कथन $(A)$: रेखाओं $\overline{r}=\overline{a}+t \overline{b}$ और $\overline{r}=\overline{p}+s \overline{q}$ के लिए,यदि $(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q}) \neq 0$ है,तो दोनों रेखाएं समतलीय हैं।
कारण $(R)$: $|(\bar{a}-\bar{p}) \cdot(\bar{b} \times \bar{q})|$,रेखाओं $\overline{r}=\overline{a}+t\bar{b}$ और $\overline{r}=\overline{p}+s \overline{q}$ के बीच की न्यूनतम दूरी का $|\bar{b} \times \bar{q}|$ गुना है।

बिंदु $(1, 2, 3)$ से रेखा $\vec{r} = (6 \hat{i} + 7 \hat{j} + 7 \hat{k}) + \lambda(3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k})$ पर डाले गए लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $L_1: \frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{0}$ और $L_2: \frac{x-2}{2}=\frac{y}{0}=\frac{z+4}{\alpha}, \alpha \in R$,दो रेखाएँ हैं,जो बिंदु $B$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $P$,बिंदु $A(1,1,-1)$ से $L_2$ पर डाले गए लंब का पाद है,तो $26 \alpha(PB)^2$ का मान . . . . . . है।

रेखाएँ $\overrightarrow{r} = (\hat{i} - \hat{j}) + \ell(2\hat{i} + \hat{k})$ और $\overrightarrow{r} = (2\hat{i} - \hat{j}) + m(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$: