રેખા $ax + by + c = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ નો અભિલંબ છે. આ વર્તુળ દ્વારા અંતઃખંડિત થતી રેખા $ax + by + c = 0$ ના ભાગની લંબાઈ કેટલી છે?

ધારો કે $C$ એ $A (2,-1)$ અને $B (3,4)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતું વર્તુળ છે. રેખાખંડ $AB$ એ $C$ નો વ્યાસ નથી. જો $r$ એ $C$ ની ત્રિજ્યા હોય અને તેનું કેન્દ્ર $(x-5)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{13}{2}$ વર્તુળ પર આવેલું હોય,તો $r^{2}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $G$ એ $R>0$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. ધારો કે $G_1, G_2, \ldots, G_n$ એ $r>0$ સમાન ત્રિજ્યા ધરાવતા $n$ વર્તુળો છે. ધારો કે દરેક $n$ વર્તુળો $G_1, G_2, \ldots, G_n$ એ વર્તુળ $G$ ને બહારથી સ્પર્શે છે. વળી,$i=1,2, \ldots, n-1$ માટે,વર્તુળ $G_i$ એ $G_{i+1}$ ને બહારથી સ્પર્શે છે,અને $G_n$ એ $G_1$ ને બહારથી સ્પર્શે છે. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ જો $n=4$ હોય,તો $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(B)$ જો $n=5$ હોય,તો $r < R$
$(C)$ જો $n=8$ હોય,તો $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(D)$ જો $n=12$ હોય,તો $\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)r > R$

વર્તુળ $4x^2+4y^2-12x-12y+9=0$

જો $(1, a)$ અને $(b, 2)$ એ વર્તુળ $x^2+y^2=25$ ના સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી બિંદુઓ હોય,તો $4a+2b=$

ધારો કે $A(3,5)$,$B(-2,-7)$ અને $C(\alpha, \beta)$ ત્રણ બિંદુઓ છે જેથી $\angle ACB$ કાટખૂણો હોય અને ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{82}{3}$ ચોરસ એકમ હોય. તો આવા બિંદુઓ $C$ ની સંખ્યા કેટલી છે?