रेखा $\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z + 1}{1}$ और समतल $4x + 5y + 3z - 5 = 0$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं

मूल बिंदु से गुजरने वाले और रेखा $\frac{x - 1}{5} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{5}$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

वास्तविक संख्याओं $\alpha$ और $\beta \neq 0$ के लिए,यदि रेखाओं $\frac{x-\alpha}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}$ और $\frac{x-4}{\beta}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-7}{3}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु समतल $x+2y-z=8$ पर स्थित है,तो $\alpha-\beta$ का मान ज्ञात कीजिए:

$r \cdot (i + 2j + 2k) = 15$ और $|r - (j + 2k)| = 4$ द्वारा दिए गए वृत्त का केंद्र है

रेखाएँ $\frac{x-0}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{\lambda}$ और $\frac{x-2}{2}=\frac{y-6}{3}=\frac{z-3}{\lambda}$ समतलीय हैं। यदि $p$ वह समतल है जिसमें ये रेखाएँ स्थित हैं,तो $\lambda$ के सभी मानों के लिए निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु समतल पर स्थित है?

मान लीजिए कि एक रेखा $l$ मूल बिंदु से होकर गुजरती है और रेखाओं $l_1: \overrightarrow{r} = (\hat{i} - 11\hat{j} - 7\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ और $l_2: \overrightarrow{r} = (-\hat{i} + \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$ पर लंब है। यदि $P$,$l$ और $l_1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,और $Q(\alpha, \beta, \gamma)$,$P$ से $l_2$ पर डाले गए लंब का पाद है,तो $9(\alpha + \beta + \gamma)$ का मान ज्ञात कीजिए।