$(1, 1, -1)$ से गुजरने वाली और $\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ सदिश के समानांतर रेखा,रेखा $\frac{x - 3}{-1} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z - 2}{-4}$ को $A$ पर और समतल $2 x - y + 2 z + 7 = 0$ को $B$ पर मिलती है। तो $AB = $

कथन-$1$: बिंदु $A(1, 0, 7)$,रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3}$ में बिंदु $B(1, 6, 3)$ का प्रतिबिंब है।
कथन-$2$: रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3}$,$A(1, 0, 7)$ और $B(1, 6, 3)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक है।

मान लीजिए कि $\triangle ABC$ के एक शीर्ष के निर्देशांक $A(0, 2, \alpha)$ हैं और अन्य दो शीर्ष रेखा $\frac{x+\alpha}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+4}{3}$ पर स्थित हैं। $\alpha \in \mathbb{Z}$ के लिए,यदि $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $21$ वर्ग इकाई है और रेखाखंड $BC$ की लंबाई $2\sqrt{21}$ इकाई है,तो $\alpha^2$ का मान $...........$ है।

एक बिंदु $P$, $Q(1, -2, 3)$ से गुजरने वाली और रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ के समानांतर एक रेखा पर स्थित है। यदि $P$, समतल $2x + 3y - 4z + 22 = 0$ पर स्थित है, तो रेखाखंड $PQ$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

$i + 2j - k$ बिंदु से गुजरने वाले और $r \cdot (3i - j + k) = 1$ तथा $r \cdot (i + 4j - 2k) = 2$ समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

$(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली और समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}) + 9 = 0$ के लंबवत रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।