x-अक्ष पर रखे L लंबाई की एक छड़ का रैखिक द्रव | vedclass

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Question

(B) रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda = \alpha + \beta x$ द्वारा दिया गया है।मूल बिंदु से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव लें। इस अवयव का द्रव्यमा

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$\frac{(3 \alpha + 2 \beta L) L}{3(2 \alpha + \beta L)}$

Vedclass · Answer

(B) रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda = \alpha + \beta x$ द्वारा दिया गया है।मूल बिंदु से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक छोटा अवयव लें। इस अवयव का द्रव्यमान $dm = \lambda dx = (\alpha + \beta x) dx$ है।द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ का सूत्र $x_{cm} = \frac{\int x dm}{\int dm}$ है।मान रखने पर,हमें $x_{cm} = \frac{\int_0^L x(\alpha + \beta x) dx}{\int_0^L (\alpha + \beta x) dx}$ प्राप्त होता है।अंश का मूल्यांकन करने पर: $\int_0^L (\alpha x + \beta x^2) dx = [\frac{\alpha x^2}{2} + \frac{\beta x^3}{3}]_0^L = \frac{\alpha L^2}{2} + \frac{\beta L^3}{3} = \frac{L^2(3\alpha + 2\beta L)}{6}$।हर का मूल्यांकन करने पर: $\int_0^L (\alpha + \beta x) dx = [\alpha x + \frac{\beta x^2}{2}]_0^L = \alpha L + \frac{\beta L^2}{2} = \frac{L(2\alpha + \beta L)}{2}$।दोनों परिणामों को विभाजित करने पर: $x_{cm} = \frac{L^2(3\alpha + 2\beta L)}{6} 	imes \frac{2}{L(2\alpha + \beta L)} = \frac{L(3\alpha + 2\beta L)}{3(2\alpha + \beta L)}$।

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