उस वृत्त के केंद्र का बिंदु पथ क्या है जो वृत्त ${x^2} + {(y - 1)^2} = 1$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है और $x$-अक्ष को भी स्पर्श करता है?

मान लीजिए कि बिंदु $P$ परवलय $y = x^2 - 6x + 12$ का शीर्ष है। यदि बिंदु $P$ से गुजरने वाली एक रेखा वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$ को बिंदुओं $R$ और $S$ पर काटती है, तो $(PR + PS)^2$ का अधिकतम मान क्या है?

दिए गए अनुच्छेद में दी गई जानकारी के आधार पर सूचियों का उचित मिलान करके निम्नलिखित का उत्तर दें।
मान लीजिए कि वृत्त $C_1: x^2+y^2=9$ और $C_2: (x-3)^2+(y-4)^2=16$ बिंदुओं $X$ और $Y$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए कि एक अन्य वृत्त $C_3: (x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:
$(i)$ $C_3$ का केंद्र $C_1$ और $C_2$ के केंद्रों के साथ संरेख है।
$(ii)$ $C_1$ और $C_2$ दोनों $C_3$ के अंदर स्थित हैं।
$(iii)$ $C_3$,$C_1$ को $M$ पर और $C_2$ को $N$ पर स्पर्श करता है।
मान लीजिए कि $X$ और $Y$ से गुजरने वाली रेखा $C_3$ को $Z$ और $W$ पर प्रतिच्छेद करती है,और मान लीजिए कि $C_1$ और $C_3$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा,परवलय $x^2=8 \alpha y$ की स्पर्श रेखा है।
$List-I$ में कुछ व्यंजक दिए गए हैं जिनके मान नीचे $List-II$ में दिए गए हैं:

$List-I$	$List-II$
$(I) \ 2h + k$	$(P) \ 6$
$(II) \ \frac{\text{Length of } ZW}{\text{Length of } XY}$	$(Q) \ \sqrt{6}$
$(III) \ \frac{\text{Area of triangle } MZN}{\text{Area of triangle } ZMW}$	$(R) \ \frac{5}{4}$
$(IV) \ \alpha$	$(S) \ \frac{21}{5}$
	$(T) \ 2\sqrt{6}$
	$(U) \ \frac{10}{3}$

$(1)$ निम्नलिखित में से कौन सा एकमात्र गलत संयोजन है?
$(1) (IV), (S) \quad (2) (IV), (U) \quad (3) (III), (R) \quad (4) (I), (P)$
$(2)$ निम्नलिखित में से कौन सा एकमात्र सही संयोजन है?
$(1) (II), (T) \quad (2) (I), (S) \quad (3) (I), (U) \quad (4) (II), (Q)$

मान लीजिए $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ एक वृत्त है जो $(0,6)$ से होकर गुजरता है और $(2,4)$ पर परवलय $y=x^{2}$ को स्पर्श करता है। तो $A+C$ का मान ज्ञात कीजिए।

$2x^2 + 2y^2 - (1+a)x - (1-a)y = 0$ वृत्त पर स्थित बिंदु $P\left(\frac{1+a}{2}, \frac{1-a}{2}\right)$ से खींची गई दो भिन्न जीवाओं को रेखा $x + y = 0$ समद्विभाजित करती है,तो $a^2$ के सभी मानों का समुच्चय क्या होगा?

मान लीजिए $O(0,0)$ मूल बिंदु है और रेखा $L = x + y - \lambda = 0$ वक्र $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 2 = 0$ को $A$ और $B$ पर मिलती है। यदि $\angle AOB = 90^{\circ}$ है,तो ऐसी रेखाओं $L = 0$ के बीच की दूरी क्या है?