વર્તુળોના કેન્દ્રોનો બિંદુપથ,જે સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે અને $3x - 4y + 4 = 0$ તથા $6x - 8y - 7 = 0$ તેમના સામાન્ય સ્પર્શકો છે,તે શોધો.

$h$ ઊંચાઈ ધરાવતા લંબ-વર્તુળાકાર શંકુ આકારની બોટલમાં થોડું પાણી છે. જ્યારે તેનો પાયો સપાટ સપાટી પર રાખવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીની સપાટીથી શિરોબિંદુની ઊંચાઈ $a$ એકમ છે. જ્યારે તેને ઉલટું રાખવામાં આવે છે,ત્યારે પાણીની સપાટીથી પાયાની ઊંચાઈ $\frac{a}{4}$ એકમ છે. તો ગુણોત્તર $\frac{h}{a}$ શું છે?

જે વર્તુળો $x^2 + y^2 = 1$ ને બહારથી સ્પર્શે છે,$y$-અક્ષને સ્પર્શે છે અને પ્રથમ ચરણમાં આવેલા છે,તેવા વર્તુળોના કેન્દ્રોનો બિંદુપથ શોધો.

$r$ એકમ લંબાઈનો એક સળિયો તેના છેડાઓ સાથે યામ અક્ષો પર સરકે છે. તો સળિયાના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ એ એક વક્ર છે જેની લંબાઈ કેટલી થાય?

બિંદુ $P$ માંથી વર્તુળ ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y + 9{\sin ^2}\alpha + 13{\cos ^2}\alpha = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2\alpha$ છે. બિંદુ $P$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો.

$2a$ અને $2b$ લંબાઈના બે સીધા સળિયા યામ અક્ષો પર એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી તેમના અંતિમ બિંદુઓ હંમેશા એક જ વર્તુળ પર હોય. તો આવા વર્તુળોના કેન્દ્રોનો બિંદુપથ શું છે?