પરવલય $x^2 = 4ay$ ને લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે $S$ એ પરવલય $y^2=x$ ની એવી જીવાઓના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ દર્શાવે છે,જેથી પરવલય અને જીવા વચ્ચે ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{4}{3}$ થાય. ધારો કે $R$ એ પ્રથમ ચરણમાં આવેલો પ્રદેશ છે,જે પરવલય $y^2=x$,વક્ર $S$,અને રેખાઓ $x=1$ તથા $x=4$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન (વિધાનો) સાચું (સાચા) છે?
$(A) \ (4, \sqrt{3}) \in S$
$(B) \ (5, \sqrt{2}) \in S$
$(C) R$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{14}{3}-2 \sqrt{3}$ છે
$(D) R$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{14}{3}-\sqrt{3}$ છે

ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ છે અને $A$ એ વક્ર $y^2=4x$ પરનું એક બિંદુ છે. તો $OA$ ના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ શોધો:

પરવલય $y^2 = 4ax$ ની જીવા જે શિરોબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને પરવલયની અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેની લંબાઈ કેટલી છે?

પરવલય $y^2 = 8x$ પરનું બિંદુ કે જેના પરનો અભિલંબ રેખા $x - 2y + 5 = 0$ ને સમાંતર હોય તે

બિંદુઓ $(at_1^2, 2at_1)$,$(at_2^2, 2at_2)$ અને $(at_3^2, 2at_3)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.