परवलयों के परिवार $y = \frac{a^3 x^2}{3} + \frac{a^2 x}{2} - 2a$ के शीर्षों का बिंदुपथ है

मान लीजिए $a, r, s, t$ अशून्य वास्तविक संख्याएँ हैं। मान लीजिए $P(at^2, 2at)$,$Q(at'^2, 2at')$,$R(ar^2, 2ar)$,और $S(as^2, 2as)$ परवलय $y^2=4ax$ पर स्थित भिन्न बिंदु हैं। मान लीजिए $PQ$ नाभीय जीवा है और रेखाएँ $QR$ और $PK$ समांतर हैं,जहाँ $K$ बिंदु $(2a, 0)$ है।
$1.$ $r$ का मान है
$(A) -\frac{1}{t}$ $(B) \frac{t^2+1}{t}$ $(C) \frac{1}{t}$ $(D) \frac{t^2-1}{t}$
$2.$ यदि $st=1$ है,तो परवलय के $P$ पर स्पर्शरेखा और $S$ पर अभिलंब जिस बिंदु पर मिलते हैं,उसका कोटि (ordinate) है
$(A) \frac{(t^2+1)^2}{2t^3}$ $(B) \frac{a(t^2+1)^2}{2t^3}$ $(C) \frac{a(t^2+1)^2}{t^3}$ $(D) \frac{a(t^2+2)^2}{t^3}$
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए उत्तर दें।

उस परवलय का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष $(1, 1)$ और नाभि $(3, 1)$ है।

यदि परवलय $y^2=12x$ पर बिंदुओं $P$ और $Q$ की कोटियाँ (ordinates) $1:2$ के अनुपात में हैं,तो $P$ और $Q$ पर परवलय के अभिलंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ क्या है?

मान लीजिए $y=f(x)$ एक परवलय को दर्शाता है जिसकी नाभि $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ और नियता $y =-\frac{1}{2}$ है। तो $S=\left\{x \in R : \tan ^{-1}\left(\sqrt{f(x)}+\sin ^{-1}(\sqrt{f(x)+1})\right)=\frac{\pi}{2}\right\}$:

परवलयों $y = x^{2}$ और $y = -(x - 2)^{2}$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण है: