સદિશ $2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ નો,સદિશો $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ સદિશ પરનો પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય શોધો.

જો $a, b$ અને $c$ ત્રણ સદિશો એવા હોય કે જેથી $a \times b = c$,$b \times c = a$ અને $a, b, c$ એકબીજાને પરસ્પર લંબ હોય,તો $|b|$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો $\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ અને $C(0, 2, 1)$ હોય,તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શું થાય?

ધારો કે $O$ ઉગમબિંદુ છે,અને $\overline{OX}, \overline{OY}, \overline{OZ}$ એ ત્રિકોણ $PQR$ ની બાજુઓ $QR, RP, PQ$ ની દિશામાં ત્રણ એકમ સદિશો છે.
$(1)$ $|\overline{OX} \times \overline{OY}|$ શોધો.
$[A] \sin(P+Q)$
$[B] \sin 2R$
$[C] \sin(P+R)$
$[D] \sin(Q+R)$
$(2)$ જો ત્રિકોણ $PQR$ બદલાતો હોય,તો $\cos(P+Q) + \cos(Q+R) + \cos(R+P)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.
$[A] -\frac{5}{3}$
$[B] -\frac{3}{2}$
$[C] \frac{3}{2}$
$[D] \frac{5}{3}$
$(1)$ અને $(2)$ માટે સાચા વિકલ્પો પસંદ કરો.

ધારો કે $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j} .$ જો $\vec{c}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{a} \cdot \vec{c}=|\vec{c}|, |\vec{c}-\vec{a}|=2 \sqrt{2}$ અને $(\vec{a} \times \vec{b})$ તથા $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ હોય,તો $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}|$ નું મૂલ્ય શોધો.

ચતુષ્કોણ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો,જેના શિરોબિંદુઓ $A(0,4,1)$,$B(2,3,-1)$,$C(4,5,0)$ અને $D(2,6,2)$ છે.