सदिश $2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ का,सदिशों $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ को समाहित करने वाले समतल के लंबवत सदिश पर प्रक्षेप का परिमाण ज्ञात कीजिए।

यदि $a = i + 2j - 2k$,$b = 2i - j + k$ और $c = i + 3j - k$ है,तो $a \times (b \times c)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है,और $\overline{OX}, \overline{OY}, \overline{OZ}$ एक त्रिभुज $PQR$ की भुजाओं $QR, RP, PQ$ की दिशाओं में तीन इकाई सदिश हैं।
$(1)$ $|\overline{OX} \times \overline{OY}|$ ज्ञात कीजिए।
$[A] \sin(P+Q)$
$[B] \sin 2R$
$[C] \sin(P+R)$
$[D] \sin(Q+R)$
$(2)$ यदि त्रिभुज $PQR$ बदलता है,तो $\cos(P+Q) + \cos(Q+R) + \cos(R+P)$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
$[A] -\frac{5}{3}$
$[B] -\frac{3}{2}$
$[C] \frac{3}{2}$
$[D] \frac{5}{3}$
$(1)$ और $(2)$ के लिए सही विकल्प चुनें।

यदि $(1, 2, 0)$,$(1, 0, 2)$ और $(0, x, 1)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{6}$ वर्ग इकाई है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के बीच का कोण $\theta$ है,तो $\sin \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\bar{a}=\hat{i}+\hat{j}$,$\bar{b}=2\hat{i}-\hat{k}$,और $\bar{c}=3\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ है। वह सदिश $\bar{p}$ ज्ञात कीजिए जो $\bar{p} \cdot \bar{a}=0$ और $\bar{p} \times \bar{b}=\bar{c} \times \bar{b}$ को संतुष्ट करता है।