$l$ लंबाई की एक छड़ के लिए प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = \frac{M_0 x}{l}$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $M_0$ एक स्थिरांक है और $x$ छड़ के एक सिरे से दूरी है। छड़ के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति ज्ञात कीजिए:

$(a)$ किसी पिंड का गुरुत्व केंद्र $(C.G.)$ वह बिंदु है जहाँ पिंड का भार कार्य करता है।
$(b)$ यदि पृथ्वी की त्रिज्या अनंत मानी जाए तो द्रव्यमान केंद्र और गुरुत्व केंद्र एक ही बिंदु पर स्थित होते हैं।
$(c)$ किसी पिंड के कारण किसी बाहरी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता का मूल्यांकन करने के लिए,पिंड के पूरे द्रव्यमान को उसके $C.G.$ पर केंद्रित माना जा सकता है।
$(d)$ किसी अक्ष के परितः घूर्णन करने वाले पिंड की घूर्णन त्रिज्या,पिंड के $C.G.$ से घूर्णन अक्ष पर डाले गए लंब की लंबाई होती है।
निम्नलिखित में से कौन सा कथन युग्म सही है?

$M$ और $4M$ द्रव्यमान वाले दो कणों को एक-दूसरे से $10 \ m$ की दूरी से छोड़ा जाता है। छोटे कण से टक्कर का बिंदु $meters$ में ज्ञात कीजिए।

$L$ लंबाई और $\rho = \rho_{0} \left(1 - \frac{x^{2}}{L^{2}}\right) \text{ kg/m}$ द्रव्यमान घनत्व वाली एक-आयामी छड़ $(AB)$ के सिरे $A$ से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $\frac{3L}{\alpha} \text{ m}$ है। $\alpha$ का मान $\ldots \ldots \ldots$ है (जहाँ $x$ सिरे $A$ से दूरी है)।

$m_1 = 2m$,$m_2 = 4m$,$m_3 = m$ और $m_4$ द्रव्यमान वाले चार कणों को एक वर्ग के चार कोनों पर रखा गया है। $m_4$ का मान क्या होना चाहिए ताकि चारों कणों का द्रव्यमान केंद्र ठीक वर्ग के केंद्र पर हो?

द्रव्यमान $m \left(\frac{1}{3}\right)^N \frac{1}{N}$ को $x=N$ पर रखा गया है,जहाँ $N=2, 3, 4, \ldots \infty$ है। यदि निकाय का कुल द्रव्यमान $M$ है,तो द्रव्यमान केंद्र ज्ञात कीजिए।