जब $x$ सभी वास्तविक संख्याओं पर बदलता है,तो $f(x) = 3^x + 5^x - 9^x + 15^x - 25^x$ का अधिकतम मान $M$ निम्नलिखित में से किस शर्त को संतुष्ट करता है?

एक धात्विक डिस्क से एक त्रिज्यखंड (sector) हटा दिया जाता है और शेष भाग को $2 \sqrt{3} \pi$ आयतन वाले शंक्वाकार कीप (conical funnel) के आकार में मोड़ा जाता है। डिस्क का न्यूनतम संभव व्यास है

ऐसी दो धनात्मक संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $15$ है और जिनके वर्गों का योग न्यूनतम है।

फलन $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ जहाँ $a^2 \leq 3b$ है, के पास:

सिद्ध कीजिए कि $R$ त्रिज्या वाले गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन वाले बेलन की ऊँचाई $\frac{2 R}{\sqrt{3}}$ है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $x=-1$ और $x=2$ फलन $f(x)=x^3+ax^2+b \ln|x|+1, x \neq 0$ के क्रांतिक बिंदु हैं। मान लीजिए कि $m$ और $M$ क्रमशः अंतराल $\left[-2, -\frac{1}{2}\right]$ में $f$ के निरपेक्ष न्यूनतम और निरपेक्ष अधिकतम मान हैं। तो $|M+m|$ का मान ज्ञात कीजिए ($\ln 2 \approx 0.7$ लें):