$n_{1}$ प्रेक्षणों के एक समूह का माध्य और मानक विचलन क्रमशः $\bar{x}_{1}$ और $s_{1}$ हैं,जबकि $n_{2}$ प्रेक्षणों के दूसरे समूह का माध्य और मानक विचलन क्रमशः $\bar{x}_{2}$ और $s_{2}$ हैं। दर्शाइए कि $(n_{1}+n_{2})$ प्रेक्षणों के संयुक्त समूह का मानक विचलन $SD = \sqrt{\frac{n_{1}(s_{1})^{2}+n_{2}(s_{2})^{2}}{n_{1}+n_{2}}+\frac{n_{1} n_{2}(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}$ द्वारा दिया जाता है।

(N/A) माना कि प्रेक्षणों के दो समूह $x_{i}$ $(i=1, 2, \ldots, n_{1})$ और $y_{j}$ $(j=1, 2, \ldots, n_{2})$ हैं।
संयुक्त माध्य $\bar{x} = \frac{n_{1}\bar{x}_{1} + n_{2}\bar{x}_{2}}{n_{1} + n_{2}}$ है।
संयुक्त समूह का प्रसरण $\sigma^{2} = \frac{1}{n_{1}+n_{2}} [\sum (x_{i}-\bar{x})^{2} + \sum (y_{j}-\bar{x})^{2}]$ है।
सर्वसमिका $\sum (x_{i}-\bar{x})^{2} = n_{1}s_{1}^{2} + n_{1}d_{1}^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $d_{1} = \bar{x}_{1}-\bar{x}$ है।
इसी प्रकार,$\sum (y_{j}-\bar{x})^{2} = n_{2}s_{2}^{2} + n_{2}d_{2}^{2}$,जहाँ $d_{2} = \bar{x}_{2}-\bar{x}$ है।
$d_{1} = \frac{n_{2}(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})}{n_{1}+n_{2}}$ और $d_{2} = \frac{n_{1}(\bar{x}_{2}-\bar{x}_{1})}{n_{1}+n_{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sigma^{2} = \frac{n_{1}s_{1}^{2} + n_{2}s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}} + \frac{n_{1}d_{1}^{2} + n_{2}d_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}$।
$\frac{n_{1}d_{1}^{2} + n_{2}d_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}$ पद को सरल करने पर $\frac{n_{1}n_{2}(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$SD = \sqrt{\frac{n_{1}s_{1}^{2}+n_{2}s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}}+\frac{n_{1} n_{2}(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})^{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}$।