निर्देशांक अक्षों और वक्र y = log_e x द्वारा | vedclass

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Question

(A) वक्र $y = \log_e x$,$x$-अक्ष को $(1, 0)$ पर काटता है।निर्देशांक अक्षों और वक्र द्वारा परिबद्ध क्षेत्र को ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ से $x = 1$ क

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$1$

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(A) वक्र $y = \log_e x$,$x$-अक्ष को $(1, 0)$ पर काटता है।निर्देशांक अक्षों और वक्र द्वारा परिबद्ध क्षेत्र को ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ से $x = 1$ के बीच के क्षेत्र पर विचार करते हैं।क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = 1$ तक फलन के मापांक का समाकलन है:$A = \int_0^1 |\log_e x| \, dx = \int_0^1 -\log_e x \, dx$खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \log_e x \, dx = x \log_e x - x$ प्राप्त होता है।अतः,$A = -[x \log_e x - x]_0^1 = -[(1 \cdot \log_e 1 - 1) - \lim_{x 	o 0^+} (x \log_e x - x)]$.चूंकि $\log_e 1 = 0$ और $\lim_{x 	o 0^+} x \log_e x = 0$,इसलिए:$A = -[0 - 1 - 0] = 1$.अतः,क्षेत्रफल $1$ वर्ग इकाई है।

निर्देशांक अक्षों और वक्र $y = \log_e x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का माप है

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$y = \ln x$,$y = \ln |x|$,$y = |\ln x|$ और $y = |\ln |x||$ वक्रों द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल ......... $sq. \,unit$ है।

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$x \in [0, 2]$ के लिए वक्र $y = \sin(\pi x)$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल . . . . . . वर्ग इकाई है।

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