एक त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदु $(5,7,11)$,$(0,8,5)$ और $(2,3,-1)$ हैं। इसके शीर्ष ज्ञात कीजिए।

(N/A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
दिए गए मध्य-बिंदु $D(5,7,11)$ भुजा $BC$ पर,$E(0,8,5)$ भुजा $AC$ पर और $F(2,3,-1)$ भुजा $AB$ पर हैं।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$1) \frac{x_2+x_3}{2} = 5, \frac{y_2+y_3}{2} = 7, \frac{z_2+z_3}{2} = 11 \Rightarrow x_2+x_3=10, y_2+y_3=14, z_2+z_3=22$
$2) \frac{x_1+x_3}{2} = 0, \frac{y_1+y_3}{2} = 8, \frac{z_1+z_3}{2} = 5 \Rightarrow x_1+x_3=0, y_1+y_3=16, z_1+z_3=10$
$3) \frac{x_1+x_2}{2} = 2, \frac{y_1+y_2}{2} = 3, \frac{z_1+z_2}{2} = -1 \Rightarrow x_1+x_2=4, y_1+y_2=6, z_1+z_2=-2$
$x$ के लिए सभी समीकरणों को जोड़ने पर:
$(x_2+x_3) + (x_1+x_3) + (x_1+x_2) = 10+0+4 = 14$ $\Rightarrow 2(x_1+x_2+x_3) = 14$ $\Rightarrow x_1+x_2+x_3 = 7$
$x_1 = (x_1+x_2+x_3) - (x_2+x_3) = 7-10 = -3$
$x_2 = (x_1+x_2+x_3) - (x_1+x_3) = 7-0 = 7$
$x_3 = (x_1+x_2+x_3) - (x_1+x_2) = 7-4 = 3$
इसी प्रकार $y$ के लिए:
$y_1+y_2+y_3 = (14+16+6)/2 = 18$
$y_1 = 18-14 = 4, y_2 = 18-16 = 2, y_3 = 18-6 = 12$
इसी प्रकार $z$ के लिए:
$z_1+z_2+z_3 = (22+10-2)/2 = 15$
$z_1 = 15-22 = -7, z_2 = 15-10 = 5, z_3 = 15-(-2) = 17$
अतः,शीर्ष $A(-3, 4, -7)$,$B(7, 2, 5)$ और $C(3, 12, 17)$ हैं।