f(x) = |x - 1| + |2x - 1| + |3x - 1| + dots + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વિધેય $f(x) = \sum_{k=1}^{119} |kx - 1|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.આપણે તેને $f(x) = \sum_{k=1}^{119} k |x - \frac{1}{k}|$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.આ $\sum_

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{84}$

Vedclass · Answer

(A) વિધેય $f(x) = \sum_{k=1}^{119} |kx - 1|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.આપણે તેને $f(x) = \sum_{k=1}^{119} k |x - \frac{1}{k}|$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.આ $\sum_{k=1}^{n} c_k |x - a_k|$ પ્રકારનો સરવાળો છે,જ્યાં $c_k = k$ અને $a_k = \frac{1}{k}$ છે.વિધેય $f(x)$ તેની ન્યૂનતમ કિંમત $a_k = \frac{1}{k}$ ના ભારિત મધ્યસ્થ (weighted median) પર પ્રાપ્ત કરે છે,જ્યાં ભાર $c_k = k$ છે.$a_k$ ની કિંમતો $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{119}$ છે,જે ઉતરતા ક્રમમાં છે: $1 > \frac{1}{2} > \dots > \frac{1}{119}$.ભાર $c_1=1, c_2=2, \dots, c_{119}=119$ છે.કુલ ભાર $S = \sum_{k=1}^{119} k = \frac{119 	imes 120}{2} = 7140$ છે.મધ્યસ્થ ત્યારે મળે છે જ્યારે સંચયી ભાર $\frac{S}{2} = \frac{7140}{2} = 3570$ થાય.આપણે એવો $m$ શોધીએ છીએ કે જેના માટે $\sum_{k=1}^{m} k \ge 3570$ થાય.સૂત્ર $\frac{m(m+1)}{2} \ge 3570$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $m(m+1) \ge 7140$ મળે છે.કારણ કે $84 	imes 85 = 7140$,સંચયી ભાર $m = 84$ પર બરાબર $3570$ થાય છે.આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $x = a_{84} = \frac{1}{84}$ પર મળે છે.

$f(x) = |x - 1| + |2x - 1| + |3x - 1| + \dots + |119x - 1|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $x$ પર મળે છે. તો $x$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$1, 2,$ અને $3$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવતી સાત અંકની એવી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ કેટલી છે જેના અંકોનો સરવાળો $10$ થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module