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Question

(C) माना $z = {\left( {\frac{3}{a} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{b} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{c} - 1} \right)^2} + {\left( {3c - 1} \r

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$27$

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(C) माना $z = {\left( {\frac{3}{a} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{b} - 1} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{c} - 1} \right)^2} + {\left( {3c - 1} \right)^2}$.पदों का विस्तार करने पर,$z = \left( \frac{9}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + 9c^2 \right) + 4 - 2 \left( \frac{3}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + 3c \right)$ प्राप्त होता है।समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM \ge GM)$ असमिका का उपयोग करने पर:$\frac{1}{4} \left( \frac{9}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + 9c^2 \right) \ge \sqrt[4]{\frac{9}{a^2} \cdot \frac{a^2}{b^2} \cdot \frac{b^2}{c^2} \cdot 9c^2} = \sqrt[4]{81} = 3$.अतः,$\frac{9}{a^2} + \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2} + 9c^2 \ge 12$.इसी प्रकार,$\frac{1}{4} \left( \frac{3}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + 3c \right) \ge \sqrt[4]{\frac{3}{a} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot 3c} = \sqrt[4]{9} = \sqrt{3}$.अतः,$2 \left( \frac{3}{a} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + 3c \right) \ge 8\sqrt{3}$.इस प्रकार,$z \ge 12 + 4 - 8\sqrt{3} = 16 - 8\sqrt{3}$.$p - q\sqrt{r}$ से तुलना करने पर,$p = 16$,$q = 8$,$r = 3$.चूंकि $q$ और $r$ सह-अभाज्य हैं,$p + q + r = 16 + 8 + 3 = 27$.

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