फलन $f(x)=x$ के लिए अंतराल $[2,5]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय को लागू करने पर प्राप्त $C$ के स्वीकार्य मानों की संख्या है

मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$, $[a, b]$ पर अवकलनीय है और $k \in R$ है। मान लीजिए $f(a)=0=f(b)$ है। साथ ही मान लीजिए $J(x)=f'(x)+k f(x)$ है। तो

मान लीजिए कि $f$ एक ऐसा फलन है जो सभी वास्तविक $x$ के लिए सतत और अवकलनीय है। यदि $f(2) = -4$ और सभी $x \in [2, 4]$ के लिए $f'(x) \geq 6$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $f :[0,1] \rightarrow R$ अंतराल $(0,1)$ में एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f(0)=3$ और $f(1)=5$ है। यदि रेखा $y=2x+3$ फलन $f$ के ग्राफ को $(0,1)$ में केवल दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है,तो उन बिंदुओं $x \in(0,1)$ की न्यूनतम संख्या,जहाँ $f^{\prime\prime}(x)=0$ है,$......$ है।

मान लीजिए कि $f(x)$,$[0, 2]$ में माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है। यदि $f(0) = 0$ और $[0, 2]$ में सभी $x$ के लिए $|f'(x)| \le \frac{1}{2}$ है,तो:

यदि फलन $f(x) = ax^3 + bx^2 + 26x - 24$ अंतराल $[2, 4]$ में रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और $f^{\prime}\left(3 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0$ है,तो $ab$ का मान क्या होगा?