$500$ से कम ऐसी कितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनमें कोई भी दो अंक दोहराए नहीं गए हैं?

यदि $n, r$ दो धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार हैं कि $1 \leq r < n$,तो ${ }^{n} P_{r+1} + r^2 { }^{n-1} P_{r-1} + (r+1) { }^{n-1} P_{r} + r { }^{n-1} P_{r-1} =$

$10$ पुरुषों और $6$ महिलाओं को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें। उनके बैठने के तरीकों की संख्या है:

$6$ नए साल के ग्रीटिंग कार्ड $4$ लोगों को कितने तरीकों से भेजे जा सकते हैं?

$INTEGER$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके अलग-अलग शब्द बनाने हैं। मान लीजिए $m_1$ उन शब्दों की संख्या है जिनमें $I$ और $N$ कभी साथ न हों और $m_2$ उन शब्दों की संख्या है जो $I$ से शुरू होते हैं और $R$ पर समाप्त होते हैं,तो $m_1/m_2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि अंकों $0, 2, 4, 6, 8$ का उपयोग करके बनाई गई किसी भी संख्या में अंकों को दोहराने की अनुमति नहीं है,तो $10,000$ से बड़ी सभी संख्याओं की संख्या $....$ के बराबर है।