धनात्मक पूर्णांकों (a, b) के उन क्रमित युग्मो | vedclass

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Question

(C) माना $\frac{2a-1}{b} = \alpha$ और $\frac{2b-1}{a} = \beta$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}^+$.चूँकि $a, b \ge 1$,इसलिए $2a-1 \ge 1$ और $2b-1 \g

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$3$

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(C) माना $\frac{2a-1}{b} = \alpha$ और $\frac{2b-1}{a} = \beta$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}^+$.चूँकि $a, b \ge 1$,इसलिए $2a-1 \ge 1$ और $2b-1 \ge 1$,अतः $\alpha, \beta \ge 1$.समीकरणों से,$2a-1 = \alpha b$ और $2b-1 = \beta a$.दूसरे समीकरण में $b = \frac{2a-1}{\alpha}$ रखने पर: $2(\frac{2a-1}{\alpha}) - 1 = \beta a$.$4a - 2 - \alpha = \alpha \beta a$,जिसका अर्थ है $a(4 - \alpha \beta) = \alpha + 2$.चूँकि $a > 0$ और $\alpha + 2 > 0$,इसलिए $4 - \alpha \beta > 0$ होना चाहिए,अतः $\alpha \beta संभावित युग्म $(\alpha, \beta)$ हैं: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1)$.स्थिति $1$: $(\alpha, \beta) = (1, 1) \implies 3a = 3 \implies a = 1$. अतः $b = 1$. युग्म: $(1, 1)$.स्थिति $2$: $(\alpha, \beta) = (1, 2) \implies 2a = 3$,कोई पूर्णांक हल नहीं।स्थिति $3$: $(\alpha, \beta) = (1, 3) \implies a = 3$. अतः $b = 5$. युग्म: $(3, 5)$.स्थिति $4$: $(\alpha, \beta) = (2, 1) \implies 2a = 4 \implies a = 2$. अतः $b = 1.5$,जो पूर्णांक नहीं है।स्थिति $5$: $(\alpha, \beta) = (3, 1) \implies a = 5$. अतः $b = 3$. युग्म: $(5, 3)$.अतः,कुल $3$ क्रमित युग्म हैं।

धनात्मक पूर्णांकों $(a, b)$ के उन क्रमित युग्मों की संख्या क्या है जिनके लिए $\frac{2a-1}{b}$ और $\frac{2b-1}{a}$ दोनों पूर्णांक हैं?

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