शीर्षों $(0,0)$,$(0,41)$ और $(41,0)$ वाले त्रिभुज के आंतरिक भाग में स्थित,दोनों निर्देशांकों के पूर्णांक होने वाले बिंदुओं की संख्या क्या है?

तीन बिंदुओं $A(-4, 0)$,$B(2, 1)$ और $C(3, 1)$ एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष निर्धारित करते हैं। शीर्ष $D$ के निर्देशांक हैं:

मान लीजिए कि $A(1, \alpha)$,$B(\alpha, 0)$ और $C(0, \alpha)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $4 \text{ sq. units}$ है। यदि बिंदु $(\alpha, -\alpha)$,$(-\alpha, \alpha)$ और $(\alpha^2, \beta)$ संरेख हैं,तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि रेखाएँ $3x + y - 4 = 0$,$x - \alpha y + 10 = 0$,$\beta x + 2y + 4 = 0$ और $3x + y + k = 0$ एक वर्ग की भुजाओं को दर्शाती हैं,तो $\alpha \beta (k + 4)^2 = $

त्रिभुज $ABC$ में अंतर्निहित वर्ग $PQRS$ के शीर्षों $P, Q, R$ और $S$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए,जहाँ $A \equiv (0, 0)$,$B \equiv (3, 0)$,और $C \equiv (2, 1)$ है और इसके दो शीर्ष $P$ और $Q$ भुजा $AB$ पर स्थित हैं:

$\beta$ के मानों का वह समुच्चय,जिसके लिए बिंदु $(0, \beta)$,रेखाओं $3x+y+2=0$,$2x-3y+5=0$ और $x+4y-14=0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज पर या उसके अंदर स्थित हो,है