समीकरण cos^2(x sin(2x)) + frac{1}{1+x^2} = co | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $\cos^2(x \sin(2x)) + \frac{1}{1+x^2} = \cos^2 x + \sec^2 x$ है।बायां पक्ष $(LHS)$ लें: $f(x) = \cos^2(x \sin(2x)) + \frac{1}{1+x

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(B) दिया गया समीकरण: $\cos^2(x \sin(2x)) + \frac{1}{1+x^2} = \cos^2 x + \sec^2 x$ है।बायां पक्ष $(LHS)$ लें: $f(x) = \cos^2(x \sin(2x)) + \frac{1}{1+x^2}$।चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $\cos^2(	heta) \leq 1$ और $\frac{1}{1+x^2} \leq 1$ होता है,इसलिए $f(x) \leq 1 + 1 = 2$ है।दायां पक्ष $(RHS)$ लें: $g(x) = \cos^2 x + \sec^2 x$ है।अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ के अनुसार,$\cos^2 x + \sec^2 x \geq 2 \sqrt{\cos^2 x \cdot \sec^2 x} = 2 \sqrt{1} = 2$ है।समीकरण को संतुष्ट करने के लिए,$f(x) = 2$ और $g(x) = 2$ होना चाहिए।$g(x) = 2$ तब होता है जब $\cos^2 x = \sec^2 x$,जिसका अर्थ है $\cos^4 x = 1$,यानी $\cos x = \pm 1$,जिसका अर्थ है $x = n\pi$ जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।यदि $x = 0$ है,तो $f(0) = \cos^2(0) + \frac{1}{1+0} = 1 + 1 = 2$ और $g(0) = \cos^2(0) + \sec^2(0) = 1 + 1 = 2$ है।यदि $x = n\pi$ जहाँ $n 
eq 0$ है,तो $\frac{1}{1+x^2} अतः,केवल एक वास्तविक हल $x = 0$ है।

समीकरण $\cos^2(x \sin(2x)) + \frac{1}{1+x^2} = \cos^2 x + \sec^2 x$ के वास्तविक हलों $x$ की संख्या है

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समीकरण $(\sin x - x)(\cos x - x^2) = 0$ के वास्तविक हलों की संख्या है

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