समीकरण sum_{r=1}^{5} cos(rx) = 0 के (0, pi) अ | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $\cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) + \cos(4x) + \cos(5x) = 0$ है। कोसाइन के योग सूत्र का उपयोग करने पर: $\sum_{r=1}^{n} \cos(rx) = \fr

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$5$

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(C) दिया गया समीकरण $\cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) + \cos(4x) + \cos(5x) = 0$ है। कोसाइन के योग सूत्र का उपयोग करने पर: $\sum_{r=1}^{n} \cos(rx) = \frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)} \cos\left(\frac{(n+1)x}{2}ight)$. $n=5$ के लिए,$\frac{\sin(5x/2)}{\sin(x/2)} \cos(3x) = 0$ प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि $\sin(5x/2) = 0$ या $\cos(3x) = 0$,जहाँ $\sin(x/2) 
eq 0$ है। स्थिति $1$: $\cos(3x) = 0$. $(0, \pi)$ में,$3x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}$. स्थिति $2$: $\sin(5x/2) = 0$. $(0, \pi)$ में,$5x/2 = \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi \implies x = \frac{2\pi}{5}, \frac{4\pi}{5}$. कुल हल $x = \frac{\pi}{6}, \frac{2\pi}{5}, \frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{5}, \frac{5\pi}{6}$ हैं। अतः,कुल $5$ हल प्राप्त होते हैं।

समीकरण $\sum_{r=1}^{5} \cos(rx) = 0$ के $(0, \pi)$ अंतराल में हलों की संख्या क्या है?

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