નીચેના સમીકરણો $x_2 - x_3 = 1$,$-x_1 + 2x_3 = -2$,$x_1 - 2x_2 = 3$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક હોય અને $|x|$ એ $x$ નું માનાંક હોય,તો ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ $\begin{aligned} & 2x + 3|y| + 5[z] = 0, \\ & x + |y| - 2[z] = 4, \\ & x + |y| + [z] = 1 \end{aligned}$ ને

ધારો કે $A=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$,$B=\left[B_1, B_2, B_3\right]$,જ્યાં $B_1, B_2, B_3$ સ્તંભ શ્રેણિકો છે,અને $AB_1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]$,$AB_2=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 0\end{array}\right]$,$AB_3=\left[\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]$. જો $\alpha=|B|$ અને $\beta$ એ $B$ ના તમામ વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો હોય,તો $\alpha^3+\beta^3$ ની કિંમત શોધો.

સમીકરણોની સિસ્ટમ $x_1 - x_2 + x_3 = 2$,$3x_1 - x_2 + 2x_3 = -6$ અને $3x_1 + x_2 + x_3 = -18$ માટે

$\alpha$ ના વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સમૂહ જેના માટે સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ
$\begin{aligned}
& x+(\sin \alpha) y+(\cos \alpha) z=0 \\
& x+(\cos \alpha) y+(\sin \alpha) z=0 \\
& -x+(\sin \alpha) y-(\cos \alpha) z=0
\end{aligned}$
નો બિન-તુચ્છ ઉકેલ હોય તે છે

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} 6 \\ 11 \\ 0 \end{bmatrix}$ અને $X = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$ છે. જો $AX = B$ હોય,તો $2a + b + 2c$ ની કિંમત શોધો.