x in [0, 4pi] के लिए sin^{7} x + cos^{7} x = | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\sin^{7} x + \cos^{7} x = 1$,जहाँ $x \in [0, 4\pi]$.चूंकि $\sin^{2} x \leq 1$ और $\cos^{2} x \leq 1$,इसलिए $\sin^{7} x \leq \sin^{2}

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$5$

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(A) दिया गया है $\sin^{7} x + \cos^{7} x = 1$,जहाँ $x \in [0, 4\pi]$.चूंकि $\sin^{2} x \leq 1$ और $\cos^{2} x \leq 1$,इसलिए $\sin^{7} x \leq \sin^{2} x$ और $\cos^{7} x \leq \cos^{2} x$ होता है।अतः,$\sin^{7} x + \cos^{7} x \leq \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$।समानता तभी संभव है जब $\sin^{7} x = \sin^{2} x$ और $\cos^{7} x = \cos^{2} x$ हो।इसका अर्थ है कि $(\sin x = 0 	ext{ या } \sin x = 1)$ और $(\cos x = 0 	ext{ या } \cos x = 1)$।स्थिति $1$: $\sin x = 0 \implies x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi$। $\cos^{7} x = 1$ की जाँच करने पर,$x = 0, 2\pi, 4\pi$ प्राप्त होते हैं।स्थिति $2$: $\cos x = 0 \implies x = \pi/2, 3\pi/2, 5\pi/2, 7\pi/2$। $\sin^{7} x = 1$ की जाँच करने पर,$x = \pi/2, 5\pi/2$ प्राप्त होते हैं।अतः,कुल हल $x \in \{0, \pi/2, 2\pi, 5\pi/2, 4\pi\}$ हैं।इस प्रकार,कुल $5$ हल हैं।

$x \in [0, 4\pi]$ के लिए $\sin^{7} x + \cos^{7} x = 1$ के हलों की संख्या क्या है?

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