अंतराल $[0, 5\pi]$ में समीकरण $\sin 2x - 2 \cos x + 4 \sin x = 4$ के हलों की संख्या क्या है?

यदि $\sin x + 3 \sin 3x + \sin 5x = 0$ का सामान्य हल समुच्चय $S$ है,तो $\{\sin \alpha \mid \alpha \in S\} = $

यदि $\cos(\alpha - \beta) = 1$ और $\cos(\alpha + \beta) = 1/e$ है,जहाँ $\alpha, \beta \in [-\pi, \pi]$,तो $(\alpha, \beta)$ के कितने युग्म दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं?

निम्नलिखित सूचियों पर विचार करें:

$List-I$	$List-II$
$(I)$ $\{x \in[-\frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}]: \cos x+\sin x=1\}$	$(P)$ दो अवयव हैं
$(II)$ $\{x \in[-\frac{5 \pi}{18}, \frac{5 \pi}{18}]: \sqrt{3} \tan 3 x=1\}$	$(Q)$ तीन अवयव हैं
$(III)$ $\{x \in[-\frac{6 \pi}{5}, \frac{6 \pi}{5}]: 2 \cos (2 x)=\sqrt{3}\}$	$(R)$ चार अवयव हैं
$(IV)$ $\{x \in[-\frac{7 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}]: \sin x-\cos x=1\}$	$(S)$ पांच अवयव हैं
	$(T)$ छह अवयव हैं

सही विकल्प है:

यदि $\sin 2\theta = \cos \theta$ और $0 < \theta < \pi$ है,तो $\theta$ के संभावित मान क्या हैं?

यदि $\sin \left(\frac{\pi}{4} \cot \theta\right) = \cos \left(\frac{\pi}{4} \tan \theta\right)$ है,तो $\theta$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।