સમીકરણ z^{2}+overline{z}=0 ના ઉકેલોની સંખ્યા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy$. આપેલ છે કે $z^{2} + \overline{z} = 0$,તેથી $(x^{2} - y^{2} + 2ixy) + (x - iy) = 0$. વાસ

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy$. આપેલ છે કે $z^{2} + \overline{z} = 0$,તેથી $(x^{2} - y^{2} + 2ixy) + (x - iy) = 0$. વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા: $(x^{2} + x - y^{2}) + i(2xy - y) = 0$. વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $x^{2} + x - y^{2} = 0$ $(i)$ $y(2x - 1) = 0$ (ii) (ii) પરથી,$y = 0$ અથવા $x = 1/2$. કિસ્સો $1$: જો $y = 0$,તો $x^{2} + x = 0 \Rightarrow x(x + 1) = 0$,તેથી $x = 0$ અથવા $x = -1$. આનાથી $z = 0$ અને $z = -1$ ઉકેલો મળે છે. કિસ્સો $2$: જો $x = 1/2$,તો $(1/2)^{2} + 1/2 - y^{2} = 0$ $\Rightarrow 1/4 + 1/2 = y^{2}$ $\Rightarrow y^{2} = 3/4$ $\Rightarrow y = \pm \sqrt{3}/2$. આનાથી $z = 1/2 + i\sqrt{3}/2$ અને $z = 1/2 - i\sqrt{3}/2$ ઉકેલો મળે છે. આમ,કુલ $4$ ઉકેલો છે.

સમીકરણ $z^{2}+\overline{z}=0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધો,જ્યાં $z \in \mathbb{C}$ છે.

Similar Questions

જો $z-2-3i$ નો કંપવિસ્તાર (amplitude) $\pi/4$ હોય,તો $z=x+iy$ નો બિંદુપથ (locus) શું છે?

જો બિંદુઓ $P_1$ અને $P_2$ અનુક્રમે બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ દર્શાવતા હોય,તો બિંદુ $P_3$ કઈ સંખ્યા દર્શાવે છે?

ધારો કે $a = \text{Im}\left( \frac{1 + z^2}{2iz} \right)$,જ્યાં $z$ એ કોઈપણ શૂન્યતર સંકર સંખ્યા છે. ગણ $A = \{ a : |z| = 1 \text{ અને } z \ne \pm 1 \}$ એ શેના બરાબર છે?

જો $|z| = 1$ $(z \neq -1)$ અને $z = x + iy$ હોય,તો $\left( \frac{z - 1}{z + 1} \right)$ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module