दो समांतर श्रेणियों 3, 7, 11, ldots, 407 और 2 | vedclass

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Question

(D) पहली समांतर श्रेणी के लिए: $a_1 = 3$,$d_1 = 4$. सामान्य पद $T_n = 3 + (n-1)4 = 4n - 1$ है।दूसरी समांतर श्रेणी के लिए: $a_2 = 2$,$d_2 = 7$. सामान्य

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$14$

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(D) पहली समांतर श्रेणी के लिए: $a_1 = 3$,$d_1 = 4$. सामान्य पद $T_n = 3 + (n-1)4 = 4n - 1$ है।दूसरी समांतर श्रेणी के लिए: $a_2 = 2$,$d_2 = 7$. सामान्य पद $T_m = 2 + (m-1)7 = 7m - 5$ है।पदों की तुलना करने पर: $4n - 1 = 7m - 5 \Rightarrow 4n = 7m - 4$।इसका अर्थ है कि $7m$ को $4$ का गुणज होना चाहिए। चूंकि $7$,$4$ से विभाज्य नहीं है,इसलिए $m$ को $4$ का गुणज होना चाहिए। मान लीजिए $m = 4k$।अतः $4n = 7(4k) - 4 \Rightarrow n = 7k - 1$।पहली श्रेणी के लिए,$T_n \leq 407 \Rightarrow 4n - 1 \leq 407 \Rightarrow 4n \leq 408 \Rightarrow n \leq 102$।$n = 7k - 1$ रखने पर: $7k - 1 \leq 102 \Rightarrow 7k \leq 103 \Rightarrow k \leq 14.71$।चूंकि $k$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $k$ के संभावित मान $1, 2, \ldots, 14$ हैं।अतः,कुल $14$ उभयनिष्ठ पद हैं।

दो समांतर श्रेणियों $3, 7, 11, \ldots, 407$ और $2, 9, 16, \ldots, 709$ में उभयनिष्ठ पदों की संख्या क्या है?

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$2 + 5 + 8 + \dots$ श्रेणी के $50$ पदों और $3 + 5 + 7 + 9 + \dots$ श्रेणी के $60$ पदों के बीच उभयनिष्ठ (common) पदों की संख्या क्या है?

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