मान लीजिए n ( 1) एक धनात्मक पूर्णांक है। तो | vedclass

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Question

(C) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = 1 + n + n^2 + \dots + n^{127} = \frac{n^{128} - 1}{n - 1}$.हमें दिया गया है कि $(n^m + 1)$,$S$ को विभ

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$64$

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(C) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है: $S = 1 + n + n^2 + \dots + n^{127} = \frac{n^{128} - 1}{n - 1}$.हमें दिया गया है कि $(n^m + 1)$,$S$ को विभाजित करता है।अतः,$\frac{n^{128} - 1}{(n - 1)(n^m + 1)}$ एक पूर्णांक होना चाहिए।हम जानते हैं कि $n^{128} - 1 = (n^{64} - 1)(n^{64} + 1)$.इस मान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{(n^{64} - 1)(n^{64} + 1)}{(n - 1)(n^m + 1)}$ प्राप्त होता है।किसी भी $n > 1$ के लिए इसे पूर्णांक बनाने हेतु,हम $n^m + 1 = n^{64} + 1$ ले सकते हैं,जिसका अर्थ है $m = 64$।यदि $m = 64$ है,तो अभिव्यक्ति $\frac{n^{64} - 1}{n - 1} = 1 + n + n^2 + \dots + n^{63}$ हो जाती है,जो स्पष्ट रूप से एक पूर्णांक है।अतः,सबसे बड़ा पूर्णांक $m = 64$ है।

मान लीजिए $n (> 1)$ एक धनात्मक पूर्णांक है। तो सबसे बड़ा पूर्णांक $m$ ज्ञात कीजिए ताकि $(n^m + 1)$,$(1 + n + n^2 + \dots + n^{127})$ को विभाजित करे:

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कथन $-1$: श्रेणी $1 + (1 + 2 + 4) + (4 + 6 + 9) + (9 + 12 + 16) + \dots + (361 + 380 + 400)$ का योग $8000$ है।
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