^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} - ^{69}C_{3r}$ पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $^{69}C_{3r-1} + ^{69}C_{3r} = ^{69

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$2$

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(B) दिया गया समीकरण: $^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} - ^{69}C_{3r}$ पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $^{69}C_{3r-1} + ^{69}C_{3r} = ^{69}C_{r^2} + ^{69}C_{r^2-1}$ सर्वसमिका $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करने पर: $^{70}C_{3r} = ^{70}C_{r^2}$ इसका अर्थ है कि या तो $3r = r^2$ या $3r + r^2 = 70$ है। स्थिति $1$: $r^2 - 3r = 0$ $\Rightarrow r(r-3) = 0$ $\Rightarrow r = 0$ या $r = 3$। स्थिति $2$: $r^2 + 3r - 70 = 0$ $\Rightarrow (r+10)(r-7) = 0$ $\Rightarrow r = -10$ या $r = 7$। चूंकि $nCr$,$n \ge r \ge 0$ के लिए परिभाषित है,हम मानों की जांच करते हैं: $r=0$ के लिए: $^{69}C_{-1}$ अपरिभाषित है। $r=-10$ के लिए: $^{69}C_{-31}$ अपरिभाषित है। $r=3$ के लिए: $^{69}C_{8} - ^{69}C_{9} = ^{69}C_{8} - ^{69}C_{9}$ (मान्य)। $r=7$ के लिए: $^{69}C_{20} - ^{69}C_{49} = ^{69}C_{48} - ^{69}C_{21}$ (मान्य,क्योंकि $^{69}C_{49} = ^{69}C_{20}$ और $^{69}C_{48} = ^{69}C_{21}$)। अतः,$r$ के मान्य मान $3$ और $7$ हैं। मानों की संख्या $2$ है।

$^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} - ^{69}C_{3r}$ को संतुष्ट करने वाले $r$ के मानों की संख्या है:

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${ }^{49} C_3+{ }^{48} C_3+{ }^{47} C_3+{ }^{46} C_3+{ }^{45} C_3+{ }^{45} C_4$ का मान है

$\sum_{r=0}^4 {}^{(19-r)} C_3 + {}^{15} C_4$ का मान किसके बराबर है?

$\binom{15}{8} + \binom{15}{9} - \binom{15}{6} - \binom{15}{7} = \dots$

$^{14}C_4 + \sum_{j=1}^{4} {^{18-j}C_3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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