$VOWEL$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके ऐसे कितने शब्द बनाए जा सकते हैं कि स्वर हमेशा एक साथ रहें?

$0, 1, 2, 3, 4, 5$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनाई जा सकने वाली $5$ से विभाज्य पाँच अंकों की संख्याओं की संख्या क्या है?

दीपावली के त्योहार के अवसर पर,कक्षा का प्रत्येक छात्र अन्य छात्रों को ग्रीटिंग कार्ड भेजता है। यदि कक्षा में $20$ छात्र हैं,तो छात्रों द्वारा आदान-प्रदान किए गए ग्रीटिंग कार्डों की कुल संख्या है:

एक पुस्तकालय में एक पुस्तक की $a$ प्रतियां,दो पुस्तकों में से प्रत्येक की $b$ प्रतियां,तीन पुस्तकों में से प्रत्येक की $c$ प्रतियां और $d$ पुस्तकों की एकल प्रतियां हैं। इन पुस्तकों को व्यवस्थित करने के कुल तरीकों की संख्या क्या है?

एक गाँव से शहर जाने के लिए $5$ सड़कें हैं। एक ग्रामीण व्यक्ति के शहर जाने और वापस आने के कुल अलग-अलग तरीकों की संख्या क्या है?

यदि ${}^n P_r = {}^{(n-1)} P_r + x \cdot {}^{(n-1)} P_{(r-1)}$,$\forall n, r \in N$ और $r \leq n$ है,तो $x =$